Regla de Barrow: Guía Completa y Ejemplo
Este artículo fue publicado por el autor Editores el 09/02/2025 y actualizado el 09/02/2025. Esta en la categoria Artículos.
Cuando nos enfrentamos a un problema de cálculo en el que una función depende de dos o más variables y debemos hallar su integral, la regla de Barrow es nuestra aliada. También conocida como teorema fundamental del cálculo, esta regla establece una relación entre las derivadas y las integrales.
En este artículo, profundizaremos en la regla de Barrow, sus conceptos clave, demostración y veremos un ejemplo práctico. Además, resolveremos algunas preguntas frecuentes para aclarar cualquier duda sobre este tema.
¿Qué es la regla de Barrow?
La regla de Barrow, o teorema fundamental del cálculo, es una herramienta matemática que relaciona la integral definida de una función con la antiderivada de esa función. En otras palabras, permite calcular el área bajo una curva utilizando la derivada inversa de la función que describe la curva.
Regla de Barrow: definición formal
Si una función f(x) es continua en el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f(x) en [a, b] es igual al producto de la derivada inversa de f(x) y la diferencia entre los antivalores en a y b.
$$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$
Donde F(x) es la antiderivada de f(x).
Demostración de la regla de Barrow
La regla de Barrow se basa en el teorema del valor medio y la propiedad de la integral como el límite de una suma de Riemann.
Para demostrar la regla de Barrow, consideremos una partición P = {x_0, x_1, ..., x_n} del intervalo [a, b] con \Delta x_i = x_i - x_{i-1}. La suma de Riemann de f(x) en P es:
$$S(P,f) = \sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i$$
donde c_i es un punto en [x_{i-1}, x_i].
Supongamos que existe una función F(x) tal que F'(x) = f(x). Tenemos:
$$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n [F(x_i) - F(x_{i-1})]$$
$$= \sum_{i=1}^n F'(c_i) \Delta x_i$$
$$= \sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i$$
En el límite cuando el número de subintervalos tiende a infinito y el ancho de cada subintervalo tiende a cero, la suma de Riemann converge a la integral de f(x) en [a, b]:
$$\lim_{\Delta x_i \to 0} S(P,f) = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$
Ejemplo: aplicación de la regla de Barrow
A continuación, veremos un ejemplo de cómo aplicar la regla de Barrow para calcular el área bajo la curva y = x^3 en el intervalo [0, 1].
Ya que conocemos la antiderivada de x^3, que es (1/4)x^4, podemos utilizar la regla de Barrow para calcular el área:
$$\int_0^1 x^3 dx = F(1) - F(0) = (1/4) \cdot 1^4 - (1/4) \cdot 0^4 = 1/4$$
El resultado es 1/4, por lo que el área bajo la curva y = x^3 en el intervalo [0, 1] es 1/4.
Preguntas frecuentes sobre la regla de Barrow
1. ¿Qué es la regla de Barrow en un lenguaje sencillo?
La regla de Barrow establece que el área bajo una curva es igual al cambio en la antiderivada de la función que describe la curva en el intervalo de interés.
2. ¿Por qué la regla de Barrow se llama teorema fundamental del cálculo?
La regla de Barrow es llamada así porque conecta las derivadas y las integrales, y es la base para el cálculo de integrales definidas.
3. ¿Qué condiciones deben cumplirse para aplicar la regla de Barrow?
La función debe ser continua en el intervalo de interés.
Referencias
Conclusión
La regla de Barrow es una herramienta fundamental en cálculo y permite calcular el área bajo una curva utilizando la derivada inversa. Después de leer este artículo, deberías tener una comprensión clara de la regla de Barrow, cómo demostrarla y cómo aplicarla en problemas de cálculo. Practicar ejemplos similares a los presentados aquí te ayudará a consolidar tu comprensión y habilidad en el uso de la regla de Barrow.
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